Geometrische Mittel Beispiel Essay

Das geometrische Mittel ist derjenige Mittelwert, der als die n-te Wurzel aus dem Produkt der n beachteten Zahlen berechnet ist.

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert     (arithmetisches Mittel = 1,5;  die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das geometrische Mittel der Zahlen (mit für alle ) ist gegeben durch die -te Wurzel des Produkts der Zahlen:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel nur für nichtnegative Zahlen definiert und meistens nur für echt positive reelle Zahlen sinnvoll, denn wenn ein Faktor gleich null ist, ist schon das ganze Produkt gleich null. Für komplexe Zahlen wird es nicht eingesetzt, da die komplexen Wurzeln mehrdeutig sind.

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel besagt, dass

,

also dass das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist.

Der Logarithmus des geometrischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis des Logarithmus beliebig gewählt werden darf:

woraus sich eine praktikable Rechenmethode für große ergibt.

Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel lässt sich ein mit den Gewichten gewichtetes geometrisches Mittel definieren:

wobei . Das arithmetisch-geometrische Mittel ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Außerdem gilt für und

mit dem arithmetischen und dem harmonischen Mittel.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der geometrischen Mittelwertbildung aus zwei Werten weichen beide Werte vom Mittelwert um denselben Faktor ab. Dies ist beim arithmetischen Mittel nicht der Fall. So ergibt sich aus 1 und 9 das arithmetische Mittel 5. Dabei ist die 1 vom Mittelwert 5 um Faktor 5 entfernt, während die 9 lediglich um Faktor 1,8 davon entfernt liegt. Das geometrische Mittel aus 1 und 9 hingegen ergibt den Mittelwert 3. Sowohl der niedrige Wert "1" wie auch der hohe Wert "9" sind vom Mittelwert 3 um Faktor 3 entfernt. Der Unterschied zwischen arithmetischem und geometrischem Mittelwert kann beträchtlich sein, was in der Praxis unter Umständen zur Fehlinterpretation von Durchschnittsangaben führt. So ergeben sich beispielsweise aus 0,02 und 10 die Mittelwerte 5,01 (arithmetisch) und 0,45 (geometrisch).

Beispiele:

  • Das geometrische Mittel zweier Werte ist , z.B. von und : .
  • Von einer 0,1 molaren Lösung und einer 10 molaren Lösung werden Eigenschaften bestimmt, die sich konzentrationsabhängig einem linearen Zusammenhang folgend verändern. Um eine Lösung zu erhalten, die durchschnittliche Eigenschaften besitzt, muss das geometrische Mittel gebildet werden, das in diesem Fall = 1 ist. Der arithmetische Mittelwert hingegen würde eine 5,05 molare Lösung beschreiben, die vorwiegend die Eigenschaften der 10 molaren Lösung aufweist, sich also gar nicht durchschnittlich verhält.
  • Dem Goldenen Schnitt liegt das geometrische Mittel zugrunde.
  • Sowohl in der Näherungskonstruktion der Quadratur des Kreises nach S. A. Ramanujan (1914) als auch in der Konstruktion des Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 (Siebzehneck / Siehe auch) findet das geometrische Mittel Anwendung.
  • Ein Guthaben wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

Guthaben am Ende des dritten Jahres:

oder mit Zinsfaktoren geschrieben

Mit konstantem Zinssatz und zugehörigen Zinsfaktor ergibt sich am Ende ein Guthaben von

Mit ergibt sich

und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor zu

Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ca. . Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel beträgt.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das geometrische Mittel zweier Zahlen und liefert die Seitenlänge eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck mit den Seitenlängen und . Diese Tatsache wird durch die geometrische Quadratur des Rechtecks veranschaulicht.

Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem Quader mit den drei Seitenlängen, und entsprechend im -dimensionalen bei Zahlen den Seitenlängen von Hyperwürfeln.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑ Universität Magdeburg A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale, Seite 2, Punkt u. Bild: b) (PDF-Datei) abgerufen am 30. April 2017
Geometrisches Mittel, auch mittlere Proportionale genannt,[1]
in einem Beispiel mit senkrecht zu AB stehender Strecke l2, Animation siehe hier.

Wenn wir im Alltag von „Durchschnitt“ sprechen, geht es um Durchschnittlichkeit, um Normalität. Wir meinen, dass sich etwas im Mittelfeld befindet, weder gut noch schlecht ist – es ist eben durchschnittlich. Aber was genau ist eigentlich dieser Durchschnitt von dem wir reden?

In der Grundschule bin ich das erste Mal auf den Durchschnitt gestoßen. Wir haben eine Klassenarbeit geschrieben, es gab Noten. Damit wir wissen, wo wir mit unserer Leistung stehen, schrieb unsere Klassenlehrerin die Durchschnittsnote an die Tafel: 2,3. Von da an war es mein Ziel, immer besser zu sein als der Durchschnitt. Ich selbst halte mich mittlerweile für ziemlich durchschnittlich. Überdurchschnittliche Fähigkeiten habe ich nicht. Ich mache mir aber auch nicht so viele Gedanken über den Durchschnitt, denn ich bin ja in erster Linie ich selbst. Nur meine Leistungen, die sollen ein wenig über dem Durchschnitt liegen.

Heute begegnet der Durchschnitt mir hauptsächlich in Form von Statistiken und Zeitungsberichten: Durchschnittlich trinkt ein Deutscher 107 Liter Bier pro Jahr. Er isst fast 60 kg Fleisch, schaut täglich 222 Minuten Fernsehen. Der typische Deutsche ist 43,9 Jahre alt und mag den Kosenamen „Schatz“. So. Ich bin Vegetarier (ergo esse ich 0 kg Fleisch im Jahr), ich schaue genau einmal die Woche in die Röhre, wenn sonntags Tatort kommt und ich trinke lieber Wein als Bier. Auch bin ich erst 21, und wenn jemand „Schatz“ sagt, dann laufe ich schreiend davon. Dem Durchschnitt entspreche ich auf den ersten Blick also ganz und gar nicht. Wie kommt man also zu Durchschnittsaussagen – und wozu brauche ich sie, wenn sie in meinem Fall doch nicht stimmen?

Schritt 1: Zwei Blicke in die Literatur

Ich werfe einen Blick ins Lexikon, in den Brockhaus:

„Durchschnitt, Mittelwert (Vgl. Mittel).“ Aha. Dann versuche ich es doch mal unter dem Stichwort Mittel:

„Mittel, Mittelwert. Das arithmetische Mittel oder der Durchschnitt mehrerer Zahlen wird gefunden, wenn man ihre Summe durch ihre Anzahl teilt. Das geometrische Mittel findet man, wenn man aus dem Produkt der Zahlen die Wurzel zieht.“

Arithmetisches Mittel? Geometrisches Mittel? Ich erinnere mich dunkel an meine Statistikvorlesung im ersten Semester, sehr dunkel. Und ich erinnere mich auch daran, dass ich drei Kreuze gemacht habe, als die Klausur vorbei war. In Mathe bin ich definitiv unterdurchschnittlich, das gilt wohl auch für Statistik. Ich probiere es noch einmal in einem anderen Nachschlagewerk: Was sagt denn der Duden überhaupt zum Durchschnitt?

Der Durchschnitt gibt Aufschluss über den Durchschnitt – wenn auch nicht sehr verständlich. (Foto: Katrin Puvogel)

„Ein aus mehreren vergleichbaren Größen errechneter Mittelwert in Bezug auf Quantität oder Qualität. Mittelmaß als Bezugspunkt für eine Wertung. In der Fachsprache Querschnitt, in der Mathematik Durchschnittswert.

Synonyme sind: Mittelwert, mittlerer Wert; mittleres Maß, Norm, Regel; Mittelmäßigkeit; (oft abwertend) Mittelmaß; arithmetisches Mittel, Mittelwert.“

Hilfe! Statt auf eine Begriffserklärung stoße ich auch hier wieder nur auf mathematische und statistische Fachsimpelei. Ich sehe es ein, da muss Hilfe von außen her. Zeit, für einen Besuch bei meinem ehemaligen Statistikprofessor Walter Krämer. Immerhin hat er mich durch die Klausur gebracht, und schon einige – sogar für mich verständliche – Bücher verfasst.

 

Schritt 2: Zu Besuch beim Statistik-Professor

Professor Krämer publiziert viele seiner Entdeckungen und interessanten Anekdoten. Sein Lieblingsdurchschnitt ist das arithmetische Mittel. (Foto: Archiv)

Direkt am Anfang unseres Gespräches klärt er mich auf: „Das Durchschnitte durchschnittlich sind – das ist ein Irrtum!“ Wie jetzt? Der Durchschnitt ist nicht durchschnittlich? Was ist er denn dann? „Durchschnitte sind alles andere als simpel.“ Okay, das habe ich auch schon gemerkt. „Ein Durchschnitt kann sein, was am wenigsten weit von allen anderen Zahlen entfernt ist.“ Die Abweichungen sind also alle gleich groß. Stellt man sich ein Brett vor, auf dem ein Ziegelstein liegt, befindet sich der Ziegelstein eben an der Stelle, an der er das Brett ausbalancieren kann. Ein schönes Bild für das arithmetische Mittel, übrigens Walter Krämers Lieblingsdurchschnitt. „Er ist leicht auszurechnen, und man muss keine Wurzeln ziehen.“ Na immerhin etwas. Eine weitere Möglichkeit den Durchschnitt auszurechnen ist der Median: Die Werte werden der Größe nach geordnet, der Wert in der Mitte ist der Durchschnitt, klassisches Mittelmaß. Krämers Paradebeispiel: Orgelpfeifen. Für den Vorteil gegenüber dem arithmetischen Mittel hat er noch ein weiteres Beispiel: „Nehmen wir das mittlere Einkommen von Brunai. Einer, der König, hat alles. Und die anderen haben kaum etwas – mit dem arithmetischen Mittel passt das nicht.“ Der Medien hingegen lässt solche Ausreißer nach oben links lieben.

Arithmetisches Mittel und Median sind zwei Arten, einen Durchschnitt auszurechnen. Hab ich auch beide verstanden. Aber es gibt noch mehr: geometrisches Mittel, harmonisches Mittel, gewichtetes arithmetisches Mittel. Warum das Ganze? Reicht nicht ein Durchschnitt? Nein, denn es kommt auf die Frage an: Was will ich eigentlich mit dem Durchschnitt herausfinden? „Es ist wie mit der Kleiderwahl: Je nachdem wo man hingeht, zieht man etwas anderes an“, erklärt Walter Krämer. Dieser Vergleich erscheint mir jetzt doch etwas abstrakt. „Für jede Problemlösung gibt es ein Werkzeug“, sagt der Statistikprofessor, „entwickelt durch die spezifischen Bedingungen.“ Massentauglich ist der Durchschnitt nicht.

Schritt 3: Ein Anruf beim Statistischen Bundesamt

So richtig zufrieden bin ich nach dem Gespräch mit Walter Krämer nicht. Ein Durchschnitt, der nicht durchschnittlich ist und der nicht für die Masse taugt? Was habe ich davon? Woran soll ich mich denn orientieren? Während ich bei einer Tasse Tee grübele fällt mein Blick auf einen Zeitungsartikel in der Küche. Der Altersunterschied bei Paaren beträgt im Durchschnitt vier Jahre, berichtet das Statistische Bundesamt. Da frage ich doch mal nach, vielleicht können die mir weiterhelfen! Denn kaum einer rechnet so viele Durchschnitte aus, wie das Statistische Bundesamt. Pressesprecher Klaus Pötzsch erklärt mir bei einem Telefonat: „Durchschnitte sind nicht einfach zu durchschauen.“ Er lacht. Na, das beruhigt mich jetzt ungemein! Wenn das schon jemand sagt, der sich täglich mit dem Durchschnitt beschäftigt…

Der Durchschnitt ist laut Pötzsch ein anderes Wort für Mittelwert, im umgangssprachlichen Verständnis. Berechnet wird er wohl schon seit der Antike. „Es ist das Streben danach, zu verallgemeinern, eine unübersichtliche Masse einfach darzustellen.“ Wenn mich nicht alles täuscht, machen doch gerade erst die verschiedenen Durchschnitte die Sache so kompliziert. Aus meiner Sicht auf jeden Fall. Pötzsch sieht das anders: „Kompliziert wird es erst dann, wenn das arithmetische Mittel nicht mehr sinnvoll ist.“ Na gut. Wenigstens habe ich eine Antwort auf meine Frage: Durchschnitte dienen dem Vergleich, der Einordnung. Ob es die Durchschnittsgeschwindigkeit ist, das Einkommen – oder einfach meine Größe. (Mit 1,63 Metern bin ich etwas kleiner als die durchschnittliche deutsche Frau mit ihren 1,65 Metern.) Und weil es so viele verschiedene Dinge zu vergleichen gibt, gibt es auch nicht den einen Durchschnitt, sondern eben mehrere.

Meine Erkenntis: Gar nicht so einfach

Meine Suche nach dem Durchschnitt hat Früchte getragen. Einfach ist aber trotzdem etwas anderes. (Foto: Katrin Puvogel)

Ich weiß nun: Der Durchschnitt ist kompliziert. Kompliziert zu berechnen, um nachher Kompliziertes leicht und einfach darzustellen. Klingt doppelt kompliziert. Doch wenn man ihn richtig anwenden und berechnen kann, lassen sich eine Menge tolle Sachen mit dem Durchschnitt anfangen. Ohne ihn würde mir wahrscheinlich auch die Orientierung im Alltag fehlen. Ohne den Durchschnitt wüsste ich nicht, wo ich stehe im Leben. Und dass ich, ich selbst bin. Das wirft direkt schon wieder eine Frage bei mir auf: Warum vergleichen wir uns eigentlich ununterbrochen? Das kläre ich aber besser ein anderes Mal.


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